Chapitres Première ES > Stat. et proba - Stat. descriptive, analyse de données

Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres $n=9$ et $p=\frac{1}{3}.$

$1)$Calculer son espérance et son écart-type.

$2)$ Calculer $P(X≥2)$. Donner une valeur approchée au millième.

Déterminer la médiane de la série statistiques suivante en rédigeant

Déterminer la médiane de la série statistique suivante en rédigeant

Un commercial contacte par téléphone des clients éventuels. Il sait qu’il y a $2\%$ de chance que la personne contactée lui passe commande.
Ce commercial appelle $n$ personnes. On assimile la situation à un tirage avec remise.
On appelle $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre de personnes qui a passé commande.

$1)$ Quelle loi suit $X?$ Justifier et donner ses paramètres.

$2)$ Donner la valeur de $ E(X)$).

$3)$ Déterminer la valeur de $n $ pour que $E(X)=5$. Interpréter le résultat.

$4)$ Pour $n=250$, donner une valeur approchée au millième de $P(X=5).$

Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres $n=9$ et $p=\frac{1}{3}$ :

$1)$Calculer son espérance et son écart-type.

$2)$ Calculer $P(X≥2)$. Donner une valeur approchée au millième.

Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses $?$

$1)$ $\binom{12}{9}= \binom{12}{3}$

Donner les valeurs sans calculatrice :

$1)$ $\binom{15}{15}$

$2)$ $\binom{2013}{1}$

Calculer avec calculatrice : $\binom{52}{4}$ ; $\binom{24}{20}$ ; $\binom{13}{7}$ ; $\binom{2013}{2000}$.

Démontrer que : $\binom{2}{2}+\binom{3}{2}+\binom{4}{2}+\binom{5}{2}+\binom{6}{2}=\binom{7}{3}$.

Alain et Benjamin pratiquent assidûment le tennis. On estime que la probabilité qu’Alain gagne une rencontre est $0,6$. Ils décident de jouer trois matchs dans l’année $($les résultats des matchs sont indépendants les uns des autres$)$ et de faire une cagnotte pour s’offrir un repas en fin d’année. A la fin de chaque match, le perdant versera $20€$.
Benjamin s’interroge sur sa dépense éventuelle en fin d’année.
On note $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre de matchs gagnés par Benjamin et $D$ la variable aléatoire correspondant à la dépense de Benjamin.

$a.$ Quelles sont les valeurs possibles de $X$ $?$ Exprimer $D$ en fonction de $X$ et en déduire les valeurs possibles de $D$.

$b.$ Démontrer que la probabilité que Benjamin dépense $40€$ est $0,432$.

$c.$ Calculer l’espérance de dépense en fin d’année de Benjamin.

Un pépiniériste conditionne des bulbes de fleurs. On conviendra qu’un bulbe germe s’il donne naissance à une plante qui fleurit. On considère que le pépiniériste dispose d’un très grand nombre de bulbes et que la probabilité qu’un bulbe germe est de $0,83$.
Il prélève au hasard successivement quinze bulbes de ce stock. On note $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre de bulbes qui germent.

$1)$ Quelle est la loi de $X$ $?$

$2)$ Quelle est la probabilité qu’exactement $5$ bulbes choisis germent $?$

$3)$ Quelle est la probabilité qu’au moins $9$ bulbes germent $?$

$4)$ En moyenne, sur un prélèvement de $15$ bulbes, combien vont germer $?$

Une compagnie de transport désire optimiser les contrôles afin de limiter l’impact des fraudes. Cette compagnie effectue une étude basée sur $2$ trajets par jour pendant les $20$ jours ouvrables d’un mois, soit au total $40$ trajets.
On admet que les contrôles sont indépendants les uns des autres et que la probabilité pour tout voyageur d’être contrôlé est égale à $p$.
Un trajet coûte $10€$ ; en cas de fraude, l’amende est de $100€$. Théo fraude systématiquement lors des $40$ trajets étudiés. On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de trajets où Théo a été contrôlé.

$1$) On suppose que $p= 0,05$.

$a$. Calculer à $10^{-4}$ près la probabilité que Théo soit contrôlé au plus $2$ fois.

$b$. Soit $Z$ la variable aléatoire donnant le gain algébrique réalisé par Théo. Justifier que $Z= 400 − 110X$ puis calculer $E(Z)$.

$2)$ On ne connaît plus la valeur de $p$.
Pour quelles valeurs de $p$, la fraude systématique est-elle favorable à Théo $?$ Justifier votre réponse.