Entre les deux tours d’une élection présidentielle, il ne reste que deux candidats $A$ et $B$ en lice. Lors d’un débat télévisé, $A$ affirme sur la foi d’un sondage secret que si l’élection avait lieu maintenant, il gagnerait largement avec $60\%$ des voix. Avant la fin du débat, $B$ fait effectuer un sondage par téléphone auprès de $200$ personnes en âge de voter. Le résultat donne $104$ personnes en faveur de $A$.

$1)$ En supposant que le sondage secret reflète fidèlement l’opinion des électeurs le jour du débat, donner l’intervalle de fluctuation à $95\%$ de la fréquence des personnes favorables à $A$ sur un échantillon de $200$ personnes.

$2)$ Que peut-on dire suite au résultat du sondage demandé par $B$ ?

$3)$ Reprendre les deux questions avec un intervalle de fluctuation au seuil de $98\%$.