Espérance et variance d'une loi binomiale
Un élève se rend à vélo au lycée distant de $3$ km de son domicile à une vitesse supposée constante de $15\ Km.h^{-1}$.
Sur le parcours, il rencontre $6$ feux tricolores non synchronisés. Pour chaque feu, la probabilité qu’il soit au vert est $\frac{2}{3}$.
Un feu rouge ou orange lui fait perdre une minute et demie. On appelle $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre de feux verts rencontrés par l’élève sur son parcours et $T$. La variable aléatoire égale au temps en minute mis par l’élève pour aller au lycée.
$1)$ Déterminer la loi de probabilités de $X$.
Les $6$ feux sont indépendants les uns des autres et chacun a une probabilité de $\frac{2}{3}$ d’être vert.
$2)$ Exprimer $T$ en fonction de $X$.
$3)$ Déterminer $E(T)$ et interpréter ce résultat.
$4)$ L’élève part $17$ minutes avant le début des cours.
a. Peut-il espérer être à l’heure ?
b. Calculer la probabilité qu’il soit en retard.
Sur le parcours, il rencontre $6$ feux tricolores non synchronisés. Pour chaque feu, la probabilité qu’il soit au vert est $\frac{2}{3}$.
Un feu rouge ou orange lui fait perdre une minute et demie. On appelle $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre de feux verts rencontrés par l’élève sur son parcours et $T$. La variable aléatoire égale au temps en minute mis par l’élève pour aller au lycée.
$1)$ Déterminer la loi de probabilités de $X$.
Les $6$ feux sont indépendants les uns des autres et chacun a une probabilité de $\frac{2}{3}$ d’être vert.
$2)$ Exprimer $T$ en fonction de $X$.
$3)$ Déterminer $E(T)$ et interpréter ce résultat.
$4)$ L’élève part $17$ minutes avant le début des cours.
a. Peut-il espérer être à l’heure ?
b. Calculer la probabilité qu’il soit en retard.