Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse en justifiant la réponse.
$1)$ $f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=x³+3x²+3x+1.$
$a.$ $f$ s'annule en $-2.$
Calculer $f(-2).$
$b.$ $f'$ s'annule en $-1$.
Montrer que $f$ est dérivable et calculer sa dérivé.
$c.$ L'approximation affine de $f(1+h)$ pour $h$ proche de $0$ est $0.$
$y=f'(1)(x-1)+f(1).$
$d.$ L'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $0$ est $y=3x+1.$
$y=f'(0)(x-0)+f(0).$
$2)$ $f$ est la fonction définie sur $[-\frac{1}{2};+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{2x+1}$.
$a.$ Pour tout $x>-\frac{1}{2}$, on a $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{2x+1}}.$
$f$ est de la forme $u(ax+b) $ avec $u=\sqrt{x}$ et $ax+b=2x+1$ et donc $u'=\frac{1}{2\sqrt{x}}.$
$b.$ $f'(0)=1.$
$c.$ L'approximation affine de $f(h)$ pour $h$ de $0$ est $h.$
$1)$ $f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=x³+3x²+3x+1.$
$a.$ $f$ s'annule en $-2.$
Calculer $f(-2).$
$b.$ $f'$ s'annule en $-1$.
Montrer que $f$ est dérivable et calculer sa dérivé.
$c.$ L'approximation affine de $f(1+h)$ pour $h$ proche de $0$ est $0.$
$y=f'(1)(x-1)+f(1).$
$d.$ L'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $0$ est $y=3x+1.$
$y=f'(0)(x-0)+f(0).$
$2)$ $f$ est la fonction définie sur $[-\frac{1}{2};+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{2x+1}$.
$a.$ Pour tout $x>-\frac{1}{2}$, on a $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{2x+1}}.$
$f$ est de la forme $u(ax+b) $ avec $u=\sqrt{x}$ et $ax+b=2x+1$ et donc $u'=\frac{1}{2\sqrt{x}}.$
$b.$ $f'(0)=1.$
$c.$ L'approximation affine de $f(h)$ pour $h$ de $0$ est $h.$