Mathieu propose à Mathilde de jouer avec un dé qu’il a fabriqué lui-même. Mathilde, suspicieuse, souhaite vérifier si le dé de Mathieu est bien équilibré. Pour cela, elle le lance $150$ fois et obtient $13$ fois la face $«\ 5\ »$.

$1)$ Quelle est la proportion théorique du nombre de faces $«\ 5\ »$ que l’on doit obtenir si le dé est équilibré ?

$2)$ Justifier que la loi binomiale peut être utilisée dans ce cas pour déterminer, au seuil de $95\%$, l’intervalle de fluctuation du nombre de lancers. Préciser alors les paramètres de cette loi binomiale.

$3)$ Déterminer l’intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$ du nombre de faces $«\ 5\ »$ obtenues. Peut-on alors considérer que le dé de Mathieu est équilibré ?