Une entreprise fabrique des casseroles cylindriques de contenance $1$ Litre. Elle cherche à utiliser le moins de métal possible $($on ne tiendra pas compte du manche$)$.
On note $x$ le rayon de la base de la casserole et ݄$h$ la hauteur de la casserole en centimètres.
$1)$ Exprimer ݄$h$ en fonction de $x.$
$1$ $dm^3=1000$ $cm^3.$
$2)$ On considère la fonction ܵ$S$ qui, à un rayon $x$, associe la surface de métal utilisé $($l’aire latérale et l’aire du disque de base ; on ne tient pas compte du manche$)$.
Démontrer que pour tout $x>0$, on a $S(x)=\pi x²+\frac{2\ 000}{x}.$
$S(x)=\pi x²+h\times2\pi x$.
$3)$ Etudier les variations de la fonction $S.$
$4)$ Pour quelle valeur exacte de $x$ la surface de métal est-elle minimale $?$
Trouver à partir du tableau de variations.
$5)$ Démonter qu'alors $h=x.$
