Chapitres Première S > Stat. et proba - Stat. descriptive, analyse de données

Déterminer la médiane de la série statistiques suivante en rédigeant.

Déterminer la médiane de la série statistique suivante en rédigeant.

Un commercial contacte par téléphone des clients éventuels. Il sait qu’il y a $2\%$ de chance que la personne contactée lui passe commande.
Ce commercial appelle $n$ personnes. On assimile la situation à un tirage avec remise.
On appelle $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre de personnes qui a passé commande.

$1)$ Quelle loi suit $X$ ? Justifier et donner ses paramètres.

$2)$ Donner la valeur de $ E(X)$.

$ 3 )$ Déterminer la valeur de $n $ pour que $E(X)=5$. Interpréter le résultat.

$4)$ Si $n=250$, donner une valeur approchée au millième de $P(X=5).$

Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres $n=9$ et $p=\frac{1}{3}.$

$1)$Calculer son espérance et son écart-type.

$2)$ Calculer $P(X≥2)$. Donner une valeur approchée au millième.

Avant le début des travaux de construction d’une autoroute, une équipe d’archéologie préventive procède à des sondages successifs en des points régulièrement espacés sur le terrain.
Lorsque le $n^{ième}$ sondage donne lieu à la découverte de vestiges, il est dit positif.
L’événement : “le $n^{ième}$ sondage est positif” est noté $V_n$, on note $p_n$ la probabilité de l’événement $V_n.$

L’expérience acquise au cours de ce type d’investigation permet de prévoir que : si un sondage est positif, le suivant a une probabilité égale à $0,6$ d’être aussi positif ;
si un sondage est négatif, le suivant a une probabilité égale à $0,9$ d’être aussi négatif.
On suppose que le premier sondage est positif, c’est-à-dire : $p_1=1$.

$1)$ Calculer les probabilités des événements suivants :
$a$. $A$ : “les $2^{ème}$ et $3^{ème}$ sondages sont positifs”;

$b$. $B$ : “les $2^{ème}$ et $3^{ème}$ sondages sont négatifs”.

$2)$ Calculer la probabilité $p_3$ pour que le $3^{ème}$ sondage soit positif.

$3)$ $n$ désigne un entier naturel supérieur ou égal à $2$.
Recopier et compléter l’arbre ci-dessous en fonction des données de l’énoncé :

$4)$ Pour tout entier naturel $n$ non nul, on admet que : $p_n+1=0,5p_n+0,1.$
On note $u$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$ non nul par : $u_n=p_n–0,2u_n=p_n–0,2$.

$a.$ Démontrer que $u$ est une suite géométrique, en préciser le premier terme et la raison.

$b$. Exprimer $p_n$ en fonction de $n.$

$c $. Conjecturer la valeur de la limite, quand $n$ tend vers $+∞$, de la probabilité $p_n.$

La société qui fabrique les fameux jeans « Clovis » avait fait faire en $2008$ une enquête de satisfaction qui indiquait que $75\%$ des clients étaient satisfaits de leur jean. Le directeur de marketing désire lancer une campagne de publicité en $2010$ dont le slogan serait « trois quarts de nos clients nous sont fidèles ».

$1)$ Sous l’hypothèse que la proportion de $2008$ est toujours valable en $2010$, déterminer l’intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$ de la fréquence des personnes fidèles à la marque sur un échantillon de taille $100.$

$2)$ Le directeur de marketing commande une enquête à un institut de sondage auprès de $100$ personnes.
L’institut répond :
« $64\%$ des personnes sondées sont fidèles à la marque Clovis ».
Quelle décision peut prendre le directeur de marketing ?

Entre les deux tours d’une élection présidentielle, il ne reste que deux candidats $A$ et $B$ en lice. Lors d’un débat télévisé, $A$ affirme sur la foi d’un sondage secret que si l’élection avait lieu maintenant, il gagnerait largement avec $60\%$ des voix. Avant la fin du débat, $B$ fait effectuer un sondage par téléphone auprès de $200$ personnes en âge de voter. Le résultat donne $104$ personnes en faveur de $A$.

$1)$ En supposant que le sondage secret reflète fidèlement l’opinion des électeurs le jour du débat, donner l’intervalle de fluctuation à $95\%$ de la fréquence des personnes favorables à $A$ sur un échantillon de $200$ personnes.

$2)$ Que peut-on dire suite au résultat du sondage demandé par $B$ ?

$3)$ Reprendre les deux questions avec un intervalle de fluctuation au seuil de $98\%$.

Les infections nosocomiales sont des infections contractées lors d’un séjour hospitalier. En France, la dernière enquête de prévalence « un jour donné en $2006$ » dans les établissements de santé a dénombré $\ $ patients infectés sur $360\ 000$ personnes hospitalisées.
Le jour de cette enquête nationale, près de $930$ des $19\ 400$ patients hospitalisés dans les Pays de la Loire étaient atteints d’une ou plusieurs infections nosocomiales.
Au seuil de $95\%$, les résultats en Pays de la Loire montrent-ils une différence significative par rapport aux résultats nationaux le jour de l’enquête ?

Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.

$1)$ Si, après avoir déterminer un intervalle de fluctuation d’une fréquence associée à une variable aléatoire $X$ suivant une loi binomiale $B(n;p)$ au seuil de $95\%$, on rejette l’hypothèse au risque de $5\%$, alors on la rejette nécessairement au seuil de $1\%.$

$2$) Lisa affirme que sa pièce de collection de $10$€ est parfaitement équilibrée. Aziz en doute et la lance $40$ fois pour voir. Il obtient $26$ Pile exactement et il en conclut que la pièce n’est pas équilibrée.

$a.$ Si on suppose que la pièce est bien équilibrée, un intervalle de fluctuation au seuil de $90\%$ de la fréquence de Pile sur $40$ lancers est
$I ≈[0,375; 0,625].$

$b.$ Comme la fréquence $f = 0,65$ obtenue par Aziz n’appartient pas à $I$, Aziz a raison de rejeter l’hypothèse de « pièce équilibrée ».

Lucie a lancé un dé $80$ fois. Elle a obtenue $52$ fois un nombre pair. Elle s’étonne du résultat.

$1)$ Déterminer l’intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$.

$2)$ Que peut-on lui dire ?

Une loterie est organisée dans l’ensemble des écoles primaires d’une ville. Les organisateurs annoncent $75\%$ de billets gagnants. Dans l’école de Yan, $102$ billets ont été achetés et seuls $58$ étaient gagnants.
Peut-on penser, comme Yan, que la publicité était quelque peu mensongère ? Pour cela, on déterminera l’intervalle de fluctuation au seuil de $95\%.$

Dans une usine automobile, on contrôle les défauts de peinture. On considère que dans des conditions normales, on a $20\%$ de ce type de défauts. Lors du contrôle aléatoire de $50$ véhicules, on observe $26\%$ de défauts.

$1)$ Déterminer l’intervalle de fluctuation au seuil de $90\%$. Faut-il s’inquiéter ?

$2)$ Même question avec l’intervalle de fluctuation au seuil de$ 98\%$.