Une agence touristique propose des formules week-end à Rome au départ de Paris pour lesquelles le transport et l’hôtel sont compris. Les clients doivent choisir entre deux formules : “avion+hôtel” ou “train+hôtel” et peuvent compléter ou non leur formule par une option “visites guidées”.
Une étude a produit les données suivantes : $40\%$ des clients optent pour la formule “avion+hôtel” et les autres pour la formule “train+hôtel”. Parmi les clients ayant choisi la formule “train+hôtel”, $50\%$ choisissent l’option visites guidées. $12\%$ des clients ont choisi la formule “avion+hôtel” et l’option visites guidées.
On interroge au hasard un client de l’agence ayant souscrit à une formule week-end à Rome et on note :
$A$ l’événement : le client interrogé a choisi la formule “avion+hôtel” ;
$T$ l’événement : le client interrogé a choisi la formule “train+hôtel” ;
$V$ l’événement : le client interrogé a choisi l’option “visites guidées”.

$Partie A$ :

$1)$ $a.$ Que vaut $P(A\cap V)$ $?$

$b.$ Calculer la probabilité $P_A(V).$

$c.$ Représenter la situation par un arbre pondéré.

$2)$ $a.$ Montrer que la probabilité que le client ait choisi l’option “visites guidées” est égale à $0,42.$

$b.$ Calculer la probabilité que le client interrogé ait pris l’avion sachant qu’il n’a pas choisi l’option “visites guidées”. Arrondir le résultat au millième.

$3)$ L’agence pratique les prix suivants : formule “avion+hôtel” : $510 €$ ; formule “train+hôtel” : $390 €$ ; option “visites guidées” : $100 €.$
Quel chiffre d’affaires l’agence obtient-elle en moyenne avec $50$ clients qui choisissent un week-end à Rome $?$