Soit $(u_n)$ la suite définie par son premier terme $u_0 = 1$ et par la relation de récurrence :
$$u_{n+1}=\dfrac{1}{4}u_n+3.$$
$1)$ On se propose de conjecturer graphiquement la limite de la suite $(u_n).$

$a.$ Le plan étant muni d’un repère orthonormé, tracer, pour $x$ appartenant à l’intervalle $[0 ; 12]$, les droites $D$ et $∆$ d’équations respectives :
$y=\dfrac{1}{4}x+3$ et $y=x.$

$b.$ Placer les $3$ premiers termes de $(u_n)$ sur l’axe des abscisses.

$c.$ Que peut-on conjecturer pour la limite de la suite $(u_n )$ $?$

$2)$ Soit $(v_n )$ la suite définie sur $\mathbb{N}$ par : $v_n = u_n − 4.$

$a.$ Déterminer $v_{n+1}$ en fonction de $v_n.$ En déduire la nature de la suite $(v_n).$

$b.$ Exprimer $v_n$ en fonction de $n.$

$c.$ En déduire que : $∀n ∈\mathbb{N}^*,$ $u_n = 4 − 3(\dfrac{1}{4})^n.$

$d.$ Déterminer la limite de la suite $(u_n ).$