En $2010$, une association comptait $5\ 000$ membres.
Dans cette association, il y a deux groupes nommés $A$ et $B$. En $2010$ le groupe $A$ comptait $3\ 000$ personnes et le groupe $B$ $2\ 000$ personnes. On estime que d’une année à l’autre :
• $15 \%$ des membres du groupe $A$ vont dans le groupe $B$ ;
• $20 \%$ des membres du groupe $B$ vont dans le groupe $A.$
On suppose que l’association refuse toute nouvelle adhésion extérieure. Ainsi, le nombre de membres reste à $5\ 000$ chaque année.
On note $(a_n)$ la suite représentant le nombre d’adhérents dans le groupe $A$ et $(b_n)$ le nombre d’adhérents dans le groupe $B$ l’année $2010 + n.$
Ainsi, $a_0 = 3\ 000$ et $b_0 = 2\ 000.$

$1)$ Montrer que pour tout entier naturel $n,$ $a_{n+1} = 0, 65a_n + 1\ 000.$

$2)$ On pose $u_n = a_n −\dfrac{20\ 000}{7}$ pour tout entier naturel $n.$

$a$. Montrer que la suite $(u_n)$ est géométrique. Préciser alors sa raison et son premier terme.

$b$. En déduire une expression de $u_n$ en fonction de $n.$

$3)$ Déterminer alors $\lim\limits _{n \to +\infty } a_n,$ puis $\lim\limits _{n \to +\infty } b_n.$ Donner une interprétation de ces résultats.