Dans une librairie, les ventes d’un livre ont été égales à $10\ 000$ la première semaine.

$1)$ On suppose que chaque semaine, les ventes progressent de $2\%.$
On note $u_n$ les ventes de la $n$ e semaine. On a donc $u_1 = 10\ 000.$

$a.$ Calculer $u_2.$

$b.$ Quelle est la nature de la suite $(u_n)_{n\geq1}$ $?$

$c$. En déduire une expression de $u_n$ en fonction de $n$.

$d.$ Calculer les ventes totales effectuées au cours des $10$ premières semaines.

$2)$ On suppose maintenant que les ventes augmentent de $500$ exemplaires chaque semaine.
On note $v_n$ le nombre de ventes de la $n^{ième}$ semaine. On a donc $v_1 = 10\ 000.$

$a.$ Calculer $v_1.$

$b.$ Quelle est la nature de la suite $(v_n )_{n\geq1}$ $?$

$c.$ En déduire une expression de $v_n$ en fonction de $n.$

$d.$ Calculer les ventes totales effectuées au cours des $10$ premières semaines.

$3)$ Existe-t-il une valeur de $n$ à partir de laquelle $u_n \geq v_ n$ $?$ Dans l’affirmative, préciser cette valeur $($on pourra utiliser la calculatrice$).$