Chapitres Terminale S > Géométrie - Droites et plans

Dans chacune des questions suivantes, déterminer une équation paramétrique de la droite $D,$ passant par le point $A$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}.$

$2)$ $A(-3,1,5)$ et $\overrightarrow{u}(0,-2,3)$ ;

$3)$ $A(2,-3,4)$ et $\overrightarrow{u}(1,2,-3).$

Pour chaque question, dire si les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires :

$1)$ $\overrightarrow{u}=-x+5y$ et $\overrightarrow{v}=3x+2y$ ;

$2)$ $\overrightarrow{u}=-3x+7y$ et $\overrightarrow{v}=-7x+3y$ ;

$3)$ $\overrightarrow{u}=2x+3y$ et $\overrightarrow{v}=\dfrac{10}{3}x+5y.$

$ABCD,$ $CEFD$ et $EGHF$ sont trois carrés de même côtés.
$I$ est le milieu de $[AC]$ et $J$ est le point d'intersection de $(BC)$ et $(AH).$
Montrer que $E,$ $J$ et $I$ sont alignés.

Dans un repère, on considère $A(-6; 1), B(3; 1), C(15;4) $ et $D(\frac{15}{2};2)$.

$1)$ Les points $A,$ $B$ et $C$ sont-ils alignés ? Justifier.

$ABCD$ est un parallélogramme. Soit $I$ le milieu de $[BC]$ et $J$ celui de $[CD]$. On définit alors $H$ par l'égalité $\overrightarrow{AH}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB }$ et $K$ par l'égalité $\overrightarrow{AK}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$.

$1)$ Faire une figure.

$2)$ Exprimer $\overrightarrow{HI}$ et $\overrightarrow{KJ}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$.

$3)$ Les droits $(HI)$ et $(KJ)$ sont-elles parallèles $?$

On considère un triangle $ABC$. $E$ est le symétrique de $B$ par rapport à $C$. Les points $F$ et $G$ sont définis par $\overrightarrow{AF}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BG}=-2\overrightarrow{BA}$.

$1)$ Dans le repère $(A;\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{AC})$, calculer les coordonnées de $E$,$F$ et $G$.

On considère un cube $ABCDEFGH.$ On note $M$ le milieu du segment $[EH],$ $N$ celui de $[FC]$ et $P$ le point tel que $\vec{HP} = \dfrac{1}{4}\vec{HG}$ :
Partie A : Section du cube par le plan $(MNP)$  

$1)$ Justifier que les droites $(MP)$ et $(FG)$ sont sécantes en un point $L.$ Construire le point $L.$

$2)$ On admet que les droites $(LN)$ et $(CG)$ sont sécantes et on note $T$ leur point d’intersection. On admet que les droites $(LN)$ et $(BF)$ sont sécantes et on note $Q$ leur point d’intersection.
$a.$ Construire les points $T$ et $Q$ en laissant apparents les traits de construction.
$b.$ Construire l’intersection des plans $(MNP)$ et $(ABF).$

$3)$ En déduire une construction de la section du cube par le plan $(MNP).$

On se place dans l’espace muni d’un repère orthonormé.

On considère les points $A(0;4;1),$ $B(1;3;0),$ $C(2;-1;-2),$ et $D(7;-1;4).$

$1)$ Démontrer que les points $A,$ $B$ et $C$ ne sont pas alignés.

$2)$ Déterminer une représentation paramétrique du plan $(ABC).$

$3)$ Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par $D$ et de vecteur directeur $\vec{u}(2;-1;3).$

$4)$ Déterminer les coordonnées du point $H,$ intersection de la droite $Δ$ et du plan $(ABC).$

$5)$ On considère la droite $d$ dont une représentation paramétrique est \begin{cases} x=-4t-2\\y=t \qquad \qquad t\in \mathbb{R}\\z=3t+2\end{cases}
La droite $d$ et le plan $(ABC)$ sont-ils sécants ou parallèles ?

On note $\mathbb{R}$ l’ensemble des nombres réels.
L’espace est muni d’un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k}).$
On considère les points $A(−1; 2; 0),$ $B(1; 2; 4)$ et $C(−1; 1; 1).$

$1)$ $a)$ Démontrer que les points $A,$ $B$ et $C$ ne sont pas alignés.

$b)$ Calculer le produit scalaire $\vec{AB}.\vec{AC}.$

$c.)$ Déterminer la mesure de l’angle $\widehat{BAC}$ arrondie au degré.

$2)$ Soit $\vec{n}$ le vecteur de coordonnées $ (2,-1,- 1).$
$a)$ Démontrer que $\vec{n}$ est un vecteur normal au plan $(ABC).$

$b)$ Déterminer une équation cartésienne du plan $(ABC).$

$3)$ Soient $\mathscr{P_1}$ le plan d’équation $3x + y − 2z + 3 = 0$ et $\mathscr{P_2}$ le plan passant par $O$ et parallèle au plan d’équation $x − 2z + 6 = 0.$
$a)$ Démontrer que le plan $\mathscr{P_2}$ a pour équation $x = 2z.$

$b)$ Démontrer que les plans $\mathscr{P_1}$ et $\mathscr{P_2}$ sont sécants.

$c)$ Soit la droite $D$ dont un système d’équations paramétriques est \begin{cases} x=2t\\\\y=-4t-3 \qquad t\in \mathbb{R}, \\\\z=t \end{cases}
Démontrer que $\mathscr{D}$ est la droite d’intersection des plans $\mathscr{P_1}$ et $\mathscr{P_2}.$

$4)$ Démontrer que la droite $\mathscr{D}$ coupe le plan $(ABC)$ en un point $I$ dont on déterminera les coordonnées.

On considère la pyramide $ABCDS$, où $ABCD$ est un
parallélogramme de centre $I$. Compléter, le plus précisément possible.

$1)$ L’intersection des plans $(SAB)$ et $(SBC)$ est …

$2)$ L’intersection des plans $(SAD)$ et $(SBC)$ est …

$3)$ L’intersection des plans $(SAB)$ et $(SCD)$ est …

$4)$ L’intersection des plans $(SAC)$ et $(SBD)$ est …

$5)$ L’intersection des plans $(SBD)$ et $(ABC)$ est …

$6)$ Les droites $(SB)$ et $(AC)$ sont …

$7)$ Les droites $(SC)$ et $(AD)$ sont …

$8)$ Les droites $(SD)$ et $(BI)$ sont …

$ABCD$ est un tétraèdre. $I$ est un point de $[AB]$ et $J$ est un point de $[DC]$. Déterminer l’intersection des plans $(ABJ)$ et $(CDI)$ :

On considère le pavé droit $ABCDEFGH$. $I$ et $ J$ sont les milieux respectifs des segments $[AD]$ et $[CD]$ :

$a)$ Montrer que les droites $(HI)$ et $(EA)$ sont sécantes. On note $X$ le point d’intersection.

$b)$ Montrer que les droites $(HJ)$ et $(CG)$ sont sécantes. On note $Y$ le point d’intersection.

$c)$ Montrer que les droites $(XY)$ et $(IJ)$ sont parallèles.