On note $\mathbb{R}$ l’ensemble des nombres réels.
L’espace est muni d’un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k}).$
On considère les points $A(−1; 2; 0),$ $B(1; 2; 4)$ et $C(−1; 1; 1).$
$1)$ $a)$ Démontrer que les points $A,$ $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
$b)$ Calculer le produit scalaire $\vec{AB}.\vec{AC}.$
$c.)$ Déterminer la mesure de l’angle $\widehat{BAC}$ arrondie au degré.
$2)$ Soit $\vec{n}$ le vecteur de coordonnées $ (2,-1,- 1).$
$a)$ Démontrer que $\vec{n}$ est un vecteur normal au plan $(ABC).$
$b)$ Déterminer une équation cartésienne du plan $(ABC).$
$3)$ Soient $\mathscr{P_1}$ le plan d’équation $3x + y − 2z + 3 = 0$ et $\mathscr{P_2}$ le plan passant par $O$ et parallèle au plan d’équation $x − 2z + 6 = 0.$
$a)$ Démontrer que le plan $\mathscr{P_2}$ a pour équation $x = 2z.$
$b)$ Démontrer que les plans $\mathscr{P_1}$ et $\mathscr{P_2}$ sont sécants.
$c)$ Soit la droite $D$ dont un système d’équations paramétriques est \begin{cases} x=2t\\\\y=-4t-3 \qquad t\in \mathbb{R}, \\\\z=t \end{cases}
Démontrer que $\mathscr{D}$ est la droite d’intersection des plans $\mathscr{P_1}$ et $\mathscr{P_2}.$
$4)$ Démontrer que la droite $\mathscr{D}$ coupe le plan $(ABC)$ en un point $I$ dont on déterminera les coordonnées.
