Une compagnie de transport désire optimiser les contrôles afin de limiter l’impact des fraudes. Cette compagnie effectue une étude basée sur $2$ trajets par jour pendant les $20$ jours ouvrables d’un mois, soit au total $40$ trajets.
On admet que les contrôles sont indépendants les uns des autres et que la probabilité pour tout voyageur d’être contrôlé est égale à $p$.
Un trajet coûte $10€$ ; en cas de fraude, l’amende est de $100€$. Théo fraude systématiquement lors des $40$ trajets étudiés. On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de trajets où Théo a été contrôlé.

$1$) On suppose que $p= 0,05$.

$a$. Calculer à $10^{-4}$ près la probabilité que Théo soit contrôlé au plus $2$ fois.

$b$. Soit $Z$ la variable aléatoire donnant le gain algébrique réalisé par Théo. Justifier que $Z= 400 − 110X$ puis calculer $E(Z)$.

$2)$ On ne connaît plus la valeur de $p$.
Pour quelles valeurs de $p$, la fraude systématique est-elle favorable à Théo $?$ Justifier votre réponse.