Avant le début des travaux de construction d’une autoroute, une équipe d’archéologie préventive procède à des sondages successifs en des points régulièrement espacés sur le terrain.
Lorsque le $(n-i)^{ème}$ sondage donne lieu à la découverte de vestiges, il est dit positif.
L’événement : “le $(n-i)^{ème}$ sondage est positif” est noté $V_n$, on note $p_n$ la probabilité de l’événement $V_n.$

L’expérience acquise au cours de ce type d’investigation permet de prévoir que : si un sondage est positif, le suivant a une probabilité égale à $0,6$ d’être aussi positif.
Si un sondage est négatif, le suivant a une probabilité égale à $0,9$ d’être aussi négatif.
On suppose que le premier sondage est positif, c’est-à-dire : $p_1=1$.

$1)$ Calculer les probabilités des événements suivants :

$a$. $A$ : “les $2^{ème}$ et $3^{ème}$ sondages sont positifs”.


$b$. $B$ : “les $2^{ème}$ et $3^{ème}$ sondages sont négatifs”.


$2)$ Calculer la probabilité $p_3$ pour que le $3^{ème}$ sondage soit positif.

$3)$ $n$ désigne un entier naturel supérieur ou égal à $2$.
Recopier et compléter l’arbre ci-dessous en fonction des données de l’énoncé.


$4)$ Pour tout entier naturel $n$ non nul, on admet que : $p_n+1=0,5p_n+0,1.$
On note $u$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$ non nul par : $u_n=p_n–0,2u_n=p_n–0,2$.
$a.$ Démontrer que $u$ est une suite géométrique, en préciser le premier terme et la raison.

$b$ . Exprimer $p_n$ en fonction de $n.$

$c $. Conjecturer la valeur de la limite, quand $n$ tend vers $+∞$, de la probabilité $p_n.$