Un camion doit parcourir un trajet de $200\ km$, on suppose que sa vitesse $($en $km/h)$ est constante et on la note $x$. La consommation de carburant du camion est de $6 + \dfrac{x^2}{800}$ litres de gasoil par heure avec un prix du gasoil au litre de $1 €$ et le chauffeur est payé $10€$ de l’heure.

$1)$ Exprimer le temps de trajet $t$ en fonction de $x.$

$2)$ En déduire le coût en carburant sur l’ensemble du trajet en fonction de $x$, puis le coût du chauffeur sur l’ensemble du trajet en fonction de $x.$

$3)$ Montrer que le coût total du trajet en fonction de $x$ est $C(x) = \dfrac{x}{4}+\dfrac{3200}{x}$.

$4)$ Etudier les variations de la fonction $C$ sur $[0; +∞[.$

$5)$ En déduire quelle doit être la vitesse du camion pour que le coût total du trajet soit minimal.