Suite numérique 2
Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ définies pour tout entier naturel $n$, par :
$\:u_n=\frac{1}{4}(2^n+4n-5)\:$ et $\:v_n=\frac{1}{4}(2^n-4n+5)\:.$
$1)$ Calculer $u_0$ et $u_1$ puis $v_0$ et $v_1$.
$2)$ Montrer que la suite $(a_n)$ de terme générale $a_n=u_n+v_n$ est géométrique de raison $2$.
$3)$ Exprimer la somme $S_a(n)=a_0+a_1+...+a_n$ en fonction de $n.$
$4)$ Montrer que la suite $(b_n)$ de terme générale $b_n=u_n-v_n$ est arithmétique.
$5)$ Exprimer la somme $S_b(n)=b_0+b_1+...+b_n$ en fonction de $n.$
$b_0+b_1+...+b_n=(n+1)\times \frac{b_0+b_n}{2}$.
$6)$ Déduire les sommes $S_u(n)=u_0+u_1+...+u_n$.
$\:u_n=\frac{1}{4}(2^n+4n-5)\:$ et $\:v_n=\frac{1}{4}(2^n-4n+5)\:.$
$1)$ Calculer $u_0$ et $u_1$ puis $v_0$ et $v_1$.
$2)$ Montrer que la suite $(a_n)$ de terme générale $a_n=u_n+v_n$ est géométrique de raison $2$.
$3)$ Exprimer la somme $S_a(n)=a_0+a_1+...+a_n$ en fonction de $n.$
$4)$ Montrer que la suite $(b_n)$ de terme générale $b_n=u_n-v_n$ est arithmétique.
$5)$ Exprimer la somme $S_b(n)=b_0+b_1+...+b_n$ en fonction de $n.$
$b_0+b_1+...+b_n=(n+1)\times \frac{b_0+b_n}{2}$.
$6)$ Déduire les sommes $S_u(n)=u_0+u_1+...+u_n$.