Chapitres Première ES > Algèbre et Analyse - Suites

Etudier le sens de variation de la suite $(u_n)$ définie par $u_0=3$ et $u_{n+1}=2u^2_n+u_n+3$ pour tout $n\in \mathbb{N}.$

Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q>0$ telle que $u_1=12$ et $u_5=3\ 072$. Calculer $q$ puis $u_7$.

Calculer $2+5+8\:+...+\:299+302$.

Calculer $\:1+2+4+8\:+....+\:32\ 768$.

Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ définies pour tout entier naturel $n$, par :
$\:u_n=\frac{1}{4}(2^n+4n-5)\:$ et $\:v_n=\frac{1}{4}(2^n-4n+5)\:.$

$1)$ Calculer $u_0$ et $u_1$ puis $v_0$ et $v_1$.

$2)$ Montrer que la suite $(a_n)$ de terme générale $a_n=u_n+v_n$ est géométrique de raison $2$.

$3)$ Exprimer la somme $S_a(n)=a_0+a_1+...+a_n$ en fonction de $n.$

$4)$ Montrer que la suite $(b_n)$ de terme générale $b_n=u_n-v_n$ est arithmétique.

$5)$ Exprimer la somme $S_b(n)=b_0+b_1+...+b_n$ en fonction de $n.$

La suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$, par :
$\:u_n=\frac{n^2}{2^n}$.
$1)$ Calculer $u_n$ pour $n\leq4$.

$2)$ Étudier le signe de $f(x)=-x^2+2x+1$ sur $ [0,+\infty[$.

4) En déduire que si $n\geq3$ alors $u_{n+1}\geq u_n$.

Les nombres suivants sont-ils en progression arithmétique :
$2\ 364\ 510$ ; $ 3\ 475\ 621$ ; $ 4\ 586\ 732\:?$

La suite est arithmétique $?$
\begin{cases}u_0=3. \\u_{n+1}-u_n=4.\end{cases}

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$.

$1)$ On sait que $u_0=2$ et $r=-3$. Calculer $u_{10}$, $u_{20}$, $u_{100}$.

$2)$ On sait que $u_0=2$ et $u_1=5$. Calculer $r$ et $u_2$ et $u_5.$

$3)$ On sait que $u_0=2$ et $u_2=10$. Calculer $r$ et $u_1$, $u_5$.

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$.
$1)$ Sachant que $u_{22}=15$ et $r=\frac{3}{4}$, expliciter $u_n$.

$2)$ Sachant que $u_0=3$ et $u_{20}=u_{10}=25$, expliciter $u_n$.

Pour toutes les suites $(u_n)$ définies ci-dessous, on demande de calculer $u_1, u_2, u_3$ et $ u_6.$

$1) $ Pour $(u_n) = \frac{7n-2}{n+4}$.

$2)$ Pour $(u_n)$ définie par : $\begin{cases}u_0=2 \\u_{n+1}=2u_n+3\end{cases}$

$3)$ Lorsque $u_n $ est le $n^{ième}$ nombre premier.

Albert place un capital initial $C_0 = 3\ 000$ $€$ à un taux annuel de $6\%$, les intérêts étant simples, c’est-à-dire que le capital d’une année est égal à celui de l’année précédente augmenté de $6\%$ du capital initial $($les intérêts ne sont pas capitalisés chaque année, comme ce serait le cas pour des intérêts composés$)$.
On note $C_n$ le capital d’Albert au bout de $n$ années, capital exprimé en euros.

$1)$ Montrer que, pour tout entier $n$, $C_{n+1}=C_n+180$. Qu’en déduit-on $?$

$4)$ Au bout de combien d’années le capital a-t-il doublé?

$5)$ Au bout de combien d’années le capital dépasse-t-il $10\ 000$ $€$ $?$