Chapitres Première ES > Statistiques et proba. - Événements successifs, arbre

Déterminer la médiane de la série statistique suivante en rédigeant.

Billy joue à un jeu de lancer des fléchettes sur une cible. La cible est partagée en quatre secteurs, comme indiqué sur la figure ci-dessous.

On suppose que les lancers sont indépendants et que le joueur touche la cible à tous les coups.

$1)$ Le joueur lance une fléchette.
On note $p_0$ la probabilité d'obtenir 0 point.
On note $p_3$ la probabilité d'obtenir 3 point.
On note $p_5$ la probabilité d'obtenir 5 point.
On a donc $p_0+p_3+p_5=1.$ Sachant que $p_5=\frac{1}{2}p_3$ et que $p_5=\frac{1}{3}p_0$, déterminer les valeurs de $p_0, p_3$ et $p_5$.

$2)$ Une partie de ce jeu consiste à lancer trois fléchettes au maximum. Le joueur gagne la partie s'il obtient un total (pour les 3 lancers) supérieur ou égal à $8$ points. Si au bout de $2$ lancers, il a un total supérieur ou égal à $8$ points, il ne lance pas la troisième fléchette.
On note $G_2$ l'événement : « le joueur gagne la partie en $2$ lancers».
On note $G_3$ l'événement : « le joueur gagne la partie en $3$ lancers».
On note $P$ l'événement : « le joueur perd la partie ».
On note $P(A)$ la probabilité d'un événement $A$.

$a) $ Montrer, en utilisant un arbre pondéré, que $p(G_2)=\frac{5}{36}$.
On admettra dans la suite que $p(G_3)=\frac{7}{36}$.

$b)$ En déduire $p(P).$

$3)$ Un joueur joue six parties avec les règles données à la question $2.$ Quelle est la probabilité qu'il gagne au moins une partie ?

$4)$ Pour une partie, la mise est fixée à 2€.
Si le joueur gagne en deux lancers, Il reçoit 5€. S'il gagne en trois lancers , il reçoit 3 €. S'il perd, il ne reçoit rien.
On note $X$ la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur pour une partie. Les valeurs possibles pour $X$ sont donc : $-2,1$ et $3.$

$a)$ Donner la loi de probabilité de $X$.

$b)$ Déterminer l'espérance mathématique de $X$. Le jeu est-il favorable au joueur?

Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.

$1)$ Si, après avoir déterminé un intervalle de fluctuation d’une fréquence associée à une variable aléatoire $X$ suivant une loi binomiale $B(n;p)$ au seuil de $95\%$, on rejette l’hypothèse au risque de $5\%$, alors on la rejette
nécessairement au seuil de $1\%.$

$2$) Lisa affirme que sa pièce de collection de $10$€ est parfaitement équilibrée. Aziz en doute et la lance $40$ fois pour voir. Il obtient $26$ Pile exactement et il en conclut que la pièce n’est pas équilibrée.

a. Si on suppose que la pièce est bien équilibrée, un intervalle de fluctuation au seuil de $90\%$ de la fréquence de Pile sur $40$ lancers est $I ≈[0,375; 0,625]$.

b. Comme la fréquence $f = 0,65$ obtenue par Aziz n’appartient pas à $I$, Aziz a raison de rejeter l’hypothèse de « pièce équilibrée ».

Dans une usine automobile, on contrôle les défauts de peinture. On considère que dans des conditions normales, on a $20\%$ de ce type de défauts. Lors du contrôle aléatoire de $50$ véhicules, on observe $26\%$ de défauts.

$1)$ Déterminer l’intervalle de fluctuation au seuil de $90\%$. Faut-il s’inquiéter ?

$2)$ Même question avec l’intervalle de fluctuation au seuil de 98%.

Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres $n=9$ et $p=\frac{1}{3}.$

$1)$Calculer son espérance et son écart-type.

$2)$ Calculer $P(X≥2)$. Donner une valeur approchée au millième.

Avant le début des travaux de construction d’une autoroute, une équipe d’archéologie préventive procède à des sondages successifs en des points régulièrement espacés sur le terrain.
Lorsque le $(n-i)^{ème}$ sondage donne lieu à la découverte de vestiges, il est dit positif.
L’événement : “le $(n-i)^{ème}$ sondage est positif” est noté $V_n$, on note $p_n$ la probabilité de l’événement $V_n.$

L’expérience acquise au cours de ce type d’investigation permet de prévoir que : si un sondage est positif, le suivant a une probabilité égale à $0,6$ d’être aussi positif.
Si un sondage est négatif, le suivant a une probabilité égale à $0,9$ d’être aussi négatif.
On suppose que le premier sondage est positif, c’est-à-dire : $p_1=1$.

$1)$ Calculer les probabilités des événements suivants :

$a$. $A$ : “les $2^{ème}$ et $3^{ème}$ sondages sont positifs”.

$b$. $B$ : “les $2^{ème}$ et $3^{ème}$ sondages sont négatifs”.

$2)$ Calculer la probabilité $p_3$ pour que le $3^{ème}$ sondage soit positif.

$3)$ $n$ désigne un entier naturel supérieur ou égal à $2$.
Recopier et compléter l’arbre ci-dessous en fonction des données de l’énoncé.

$4)$ Pour tout entier naturel $n$ non nul, on admet que : $p_n+1=0,5p_n+0,1.$
On note $u$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$ non nul par : $u_n=p_n–0,2u_n=p_n–0,2$.
$a.$ Démontrer que $u$ est une suite géométrique, en préciser le premier terme et la raison.

$b$ . Exprimer $p_n$ en fonction de $n.$

$c $. Conjecturer la valeur de la limite, quand $n$ tend vers $+∞$, de la probabilité $p_n.$

Un magasin réceptionne un lot de $10$ pièces mécaniques et la probabilité qu’une pièce de ce lot soit défectueuse est de $0,01.$

$1)$ Calculer la probabilité qu’aucune des dix pièces de ce lot ne soit défectueuse.

$2)$ Calculer la probabilité que au moins une pièce du lot soit défectueuse.

Théorème : Si $X$ est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale $B(n;p)$ alors $E(X)=np.$
Démonter ce théorème dans le cas où $n=2.$

Un jeu de lancer des fléchettes sur une cible. La cible est partagée en quatre secteurs, comme indiqué sur la figure ci-dessous.

On suppose que les lancers sont indépendants et que le joueur touche la cible à tous les coups.

$1)$ Le joueur lance une fléchette.
On note $p_0$ la probabilité d'obtenir $0$ point.
On note $p_3$ la probabilité d'obtenir $3$ point.
On note $p_5$ la probabilité d'obtenir $5$ point.
On a donc $p_0+p_3+p_5=1.$
Sachant que $p_5=\dfrac{1}{2}p_3$ et que $p_5=\dfrac{1}{3}p_0,$ déterminer les valeurs de $p_0, p_3$ et $p_5.$

$2)$ Une partie de ce jeu consiste à lancer trois fléchettes au maximum. Le joueur gagne la partie s'il obtient un total $($pour les 3 lancers$)$ supérieur ou égal à $8$ points. Si au bout de $2$ lancers, il a un total supérieur ou égal à $8$ points, il ne lance pas la troisième fléchette.
On note $G_2$ l'événement : « le joueur gagne la partie en $2$ lancers».
On note $G_3$ l'événement : « le joueur gagne la partie en $3$ lancers».
On note $P$ l'événement : « le joueur perd la partie ».
On note $P(A)$ la probabilité d'un événement $A.$

$a) $ Monter, en utilisant un arbre pondéré, que $p(G_2)=\dfrac{5}{36}.$
On admettra dans la suite que $p(G_3)=\dfrac{7}{36}.$

$b)$ En déduire $p(P).$

$3)$ Un joueur joue six parties avec les règles données à la question $2.$ Quelle est la probabilité qu'il gagne au moins une partie $?$

$4)$ Pour une partie, la mise est fixée à $2€.$
Si le joueur gagne en deux lancers, Il reçoit $5€.$ S'il gagne en trois lancers , il reçoit $3€.$ S'il perd, il ne reçoit rien.
On note $X$ la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur pour une partie. Les valeurs possibles pour $X$ sont donc : $-2,1$ et $3.$

$a)$ Donner la loi de probabilité de $X.$

$b)$ Déterminer l'espérance mathématique de $X.$ Le jeu est-il favorable au joueur $?$

Dans une région pétrolifère, la probabilité qu’un forage conduise à une nappe de pétrole est $0,1.$

$1)$ Justifier que la réalisation d’un forage peut être assimilée à une épreuve de Bernoulli.

$2)$ On effectue $9$ forages.

$a)$ Quelle hypothèse doit-on formuler pour que la variable aléatoire $X$ correspondant au nombre de forages qui ont conduit à une nappe de pétrole suive une loi binomiale $?$

$b)$ Sous cette hypothèse, calculer la probabilité qu’au moins un forage conduise à une nappe de pétrole. En donner la valeur à $10^{-3}$ près.

Un constructeur de composants produit des résistances. La probabilité qu’une résistance soit défectueuse est égale à $5 × 10^{-3}.$
Dans un lot de $1\ 000$ résistances, quelle est la probabilité d’avoir :

$a)$ Exactement deux résistances défectueuses ;

$b)$ Au plus deux résistances défectueuses ;

$c)$ Au moins deux résistances défectueuses $?$

Une classe compte $30$ élèves dont $20$ filles. A chaque cours de mathématiques, le professeur interroge au hasard un élève de la classe, sans se rappeler quels élèves il a déjà interrogés.
On considère un entier positif ou nul $n$ et on note $X$ la variable aléatoire qui correspond au nombre de filles interrogées au cours de $n$ jours consécutifs.

$1)$ Quelle est la loi de $X$ $?$

$2)$ Quelle est la probabilité que sur $10$ jours consécutifs, soient interrogées $4$ filles exactement $?$ au moins $4$ filles $?$

$3)$ Quel doit être le nombre minimal de cours consécutifs pour que la probabilité qu’aucune fille ne soit interrogée soit inférieure à $0,001$ $?$