Chapitres Première ES > Statistiques et probabilités - Échantillonnage

La société qui fabrique les fameux jeans « Clovis » avait fait faire en $2008$ une enquête de satisfaction qui indiquait que $75\%$ des clients étaient satisfaits de leur jean. Le directeur de marketing désire lancer une campagne de publicité en $2010$ dont le slogan serait « trois quart de nos clients nous sont fidèles ».

1) Sous l’hypothèse que la proportion de $2008$ est toujours valable en $2010$, déterminer l’intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$ de la fréquence des personnes fidèles à la marque sur un échantillon de taille $100$.

2) Le directeur de marketing commande une enquête à un institut de sondage auprès de $100$ personnes.
L’institut répond « $64\%$ des personnes sondées sont fidèles à la marque Clovis ». Quelle décision peut prendre le directeur de marketing ?

Entre les deux tours d’une élection présidentielle, il ne reste que deux candidats $A$ et $B$ en lice. Lors d’un débat télévisé, $A$ affirme sur la foi d’un sondage secret que si l’élection avait lieu maintenant, il gagnerait largement avec $60\%$ des voix. Avant la fin du débat, $B$ fait effectuer un sondage par téléphone auprès de $200$ personnes en âge de voter. Le résultat donne $104$ personnes en faveur de $A$.

1) En supposant que le sondage secret reflète fidèlement l’opinion des électeurs le jour du débat, donner l’intervalle de fluctuation à 95% de la fréquence des personnes favorables à $A$ sur un échantillon de 200 pesonnes.

2) Que peut-on dire suite au résultat du sondage demandé par $B$ ?

3) Reprendre les deux questions avec un intervalle de fluctuation au seuil de 98%.

Les infections nosocomiales sont des infections contractées lors d’un séjour hospitalier. En France, la dernière enquête de prévalence « un jour donné en $2006$ » dans les établissements de santé a dénombré $18 \:000$ patients infectés sur $360 \:000$ personnes hospitalisées.
Le jour de cette enquête nationale, près de $930$ des $19\:400$ patients hospitalisés dans les Pays de la Loire étaient atteints d’une ou plusieurs infections nosocomiales.

Au seuil de $95\%$, les résultats en Pays de la Loire montrent-ils une différence significative par rapport aux résultats
nationaux le jour de l’enquête ?

Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.

$1)$ Si, après avoir déterminé un intervalle de fluctuation d’une fréquence associée à une variable aléatoire $X$ suivant une loi binomiale $B(n;p)$ au seuil de $95\%$, on rejette l’hypothèse au risque de $5\%$, alors on la rejette
nécessairement au seuil de $1\%.$

$2$) Lisa affirme que sa pièce de collection de $10$€ est parfaitement équilibrée. Aziz en doute et la lance $40$ fois pour voir. Il obtient $26$ Pile exactement et il en conclut que la pièce n’est pas équilibrée.

a. Si on suppose que la pièce est bien équilibrée, un intervalle de fluctuation au seuil de $90\%$ de la fréquence de Pile sur $40$ lancers est $I ≈[0,375; 0,625]$.

b. Comme la fréquence $f = 0,65$ obtenue par Aziz n’appartient pas à $I$, Aziz a raison de rejeter l’hypothèse de « pièce équilibrée ».

Luce a lancé un dé $80$ fois. Elle a obtenue $52$ fois un nombre pair. Elle s’étonne du résultat.
$1)$ Déterminer l’intervalle de fluctuation au seuil de 95%.

$2)$ Que peut-on lui dire ?

Une loterie est organisée dans l’ensemble des écoles primaires d’une ville. Les organisateurs annoncent $75\%$ de billets gagnants. Dans l’école de Yan, $102$ billets ont été achetés et seuls $58$ étaient gagnants.
Peut-on penser, comme Yan, que la publicité était quelque peu mensongère ? Pour cela, on déterminera l’intervalle de fluctuation au seuil de $95\%.$

Dans une usine automobile, on contrôle les défauts de peinture. On considère que dans des conditions normales, on a $20\%$ de ce type de défauts. Lors du contrôle aléatoire de $50$ véhicules, on observe $26\%$ de défauts.

$1)$ Déterminer l’intervalle de fluctuation au seuil de $90\%$. Faut-il s’inquiéter ?

$2)$ Même question avec l’intervalle de fluctuation au seuil de 98%.

Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres $n=9$ et $p=\frac{1}{3}.$

$1)$Calculer son espérance et son écart-type.

$2)$ Calculer $P(X≥2)$. Donner une valeur approchée au millième.

Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres $n=9$ et $p=\frac{1}{3}$ :

$1)$Calculer son espérance et son écart-type.

$2)$ Calculer $P(X≥2)$. Donner une valeur approchée au millième.

$1)$ Interpréter $\binom{6}{1}$ et en donner la valeur.

$2)$ On suppose connu que $\binom{6}{2} =15$. En déduire $\binom{7}{2}$.

$3)$ Comment obtenir facilement $\binom{7}{5}$ $?$

Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses $?$

$1)$ $\binom{12}{9}= \binom{12}{3}$

$2)$ $\binom{8}{4}= 2\binom{7}{3}$

$3)$ $\binom{9}{5}= 3\binom{8}{5}$

Donner les valeurs sans calculatrice :

$1)$ $\binom{15}{15}$

$2)$ $\binom{2013}{1}$