Une roue de loterie se compose de plusieurs secteurs identiques : trois secteurs rouges, quatre secteurs blancs et $n$ secteurs verts (avec $n > 0$).
Un joueur fait tourner la roue devant un repère fixe ; chaque secteur a la même probabilité de s’arrêter devant ce repère.
• Si le secteur repéré est rouge, le joueur gagne $16$ € ;
• Si le secteur repéré est blanc , le joueur perd $12$ € ;
• Si le secteur repéré est vert, il lance une seconde fois la roue :
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$• si le secteur repéré est rouge, il gagne $8$ € ;
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$• s'il est blanc, il gagne $2$ € ;
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$• s'il est vert, il ne gagne rien et ne perd rien.
Soit $X _n$ la variable aléatoire qui, à chaque partie, associe le gain algébrique du joueur.

$1$. Exprimer en fonction de $n$, le nombre total de secteurs.

$2$. Faire un arbre de probabilités qui schématise clairement l'expérience aléatoire.

$3$. Déterminer la loi de probabilité de $X _n$.

$4$. Montrer que l'espérance mathématique de $X _n$ est $E( X _n)=\dfrac{32n}{(n+7)^2}.$

$5$. Déterminer la valeur de l'entier $n$ pour laquelle l'espérance mathématique de $X _n$ est maximale.
Quelle est cette valeur maximale de l'espérance ?