Alain et Benjamin pratiquent assidûment le tennis. On estime que la probabilité qu’Alain gagne une rencontre est $0,6$. Ils décident de jouer trois matches dans l’année (les résultats des matches sont indépendants les uns des autres) et de faire une cagnotte pour s’offrir un repas en fin d’année. À la fin de chaque match, le perdant versera $20$ €.
Benjamin s’interroge sur sa dépense éventuelle en fin d’année.
On note $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre de matches gagnés par Benjamin et $D$ la variable aléatoire correspondant à la dépense de Benjamin.
$1)$ Quelles sont les valeurs possibles de $X$ ? Exprimer $X$ en fonction de $D$ et en déduire les valeurs possibles de $D$.

$2)$ Démontrer que la probabilité que Benjamin dépense $40 $ € est $0,432.$

$3)$ Calculer l’espérance de dépense en fin d’année de Benjamin.