Problème de synthèse
Dans un tronc d’arbre circulaire, on découpe une poutre de forme parallélépipédique rectangle. La résistance à la flexion de cette poutre varie comme le produit $ℓ × ℎ^2$, où $ℓ = AB$ et $ ℎ = BC$ sur la figure ci-contre. On prend comme unité de longueur le rayon du tronc d’arbre (ce rayon est donc de $1$).
$1)$ Montrer que $ℎ^2 = 4 − ℓ^2.$
Utiliser le théorème de Pythagore.
$2)$ En déduire que $ℓ × ℎ^2 = −ℓ^3 + 4ℓ$.
$3)$ On considère la fonction $f : x ↦ −x^3+ 4x$ pour $x ≥ 0$.
$\;\;\;\;\;$$a.$ Etudier le sens de variations de $f$.
$(x^n)'=nx$.
$\;\;\;\;\;$$b.$ Comment choisir $ ℓ$ et $ℎ$ pour que la poutre résiste au mieux à la flexion ?
$\;\;\;\;\;$$c.$ Quel est l’angle $\alpha$ correspondant à $0,1°$ près ?
$1)$ Montrer que $ℎ^2 = 4 − ℓ^2.$
Utiliser le théorème de Pythagore.
$2)$ En déduire que $ℓ × ℎ^2 = −ℓ^3 + 4ℓ$.
$3)$ On considère la fonction $f : x ↦ −x^3+ 4x$ pour $x ≥ 0$.
$\;\;\;\;\;$$a.$ Etudier le sens de variations de $f$.
$(x^n)'=nx$.
$\;\;\;\;\;$$b.$ Comment choisir $ ℓ$ et $ℎ$ pour que la poutre résiste au mieux à la flexion ?
$\;\;\;\;\;$$c.$ Quel est l’angle $\alpha$ correspondant à $0,1°$ près ?