Optimisation d’une aire dans une parabole
On considère la parabole d’équation $y = x^2$ sur laquelle se trouvent deux points : $A(−2 ; 4)$ et $B(1 ; 1)$.
Soit $M$ un point de cette parabole d’abscisse $a$, $−2\leq a \leq1$.
On cherche à optimiser l’aire du triangle $ABM$.
$1)$ Calculer $AB$.
$AB=\sqrt{(x_B − x_A )^2 + (y_B − y_A )^2}.$
$2)$ Déterminer une équation de la droite $(AB)$.
Le coefficient directeur de $(AB)$ est :$\dfrac{y_B − y_A}{ x_B − x_A}.
$3)$ Soit $H$ le pied de la hauteur du triangle $ABM$ issue du sommet $M$.
Déterminer une équation de la droite $(MH)$ en fonction de $a$.
$4)$ Déduire des questions $2)$ et $3)$ les coordonnées de $H$ en fonction de $a$.
$5)$ Justifier qu’optimiser l’aire du triangle $ABM$ revient à optimiser $MH^2$, et donc à optimiser la fonction $f$ définie par $f (a) = −\dfrac{1}{2}a^2 − \dfrac{1}{2}a + 1$.
$6)$ En déduire alors l’abscisse du point $M$ telle que l’aire du triangle $ABM$ soit optimale.
Soit $M$ un point de cette parabole d’abscisse $a$, $−2\leq a \leq1$.
On cherche à optimiser l’aire du triangle $ABM$.
$1)$ Calculer $AB$.
$AB=\sqrt{(x_B − x_A )^2 + (y_B − y_A )^2}.$
$2)$ Déterminer une équation de la droite $(AB)$.
Le coefficient directeur de $(AB)$ est :$\dfrac{y_B − y_A}{ x_B − x_A}.
$3)$ Soit $H$ le pied de la hauteur du triangle $ABM$ issue du sommet $M$.
Déterminer une équation de la droite $(MH)$ en fonction de $a$.
$4)$ Déduire des questions $2)$ et $3)$ les coordonnées de $H$ en fonction de $a$.
$5)$ Justifier qu’optimiser l’aire du triangle $ABM$ revient à optimiser $MH^2$, et donc à optimiser la fonction $f$ définie par $f (a) = −\dfrac{1}{2}a^2 − \dfrac{1}{2}a + 1$.
$6)$ En déduire alors l’abscisse du point $M$ telle que l’aire du triangle $ABM$ soit optimale.