Une maladie atteint $3\%$ d’une population de $20\ 000$ individus.
On appelle “malade” l’individu atteint de cette maladie et “bien portant” celui qui ne l’est pas.
On dispose d’un test pour la détecter.
Ce test donne les résultats suivants :

Chez les individus malades, $95\%$ des tests sont positifs.
Chez les individus bien portants, $2\%$ des tests sont positifs.
On note les événements suivants :

$M$ : “être malade” ;
$T$ : “avoir un test positif”.
On rencontre une personne au hasard de cette population.

$1)$ Calculer $p(T),\ p(T∩M) $ et $p(M∪T)$.

$2)$ Sachant que la personne rencontrée est malade, calculer la probabilité que son test soit négatif.

$3)$ Sachant que la personne rencontrée a un test positif, calculer la probabilité qu’elle ne soit pas malade.