La formule de Héron
Soit un triangle $ABC$, et $H$ le pied de la hauteur issue du sommet $B$. On note $AB = c$, $AC = b$, $BC = a$ et $BH = h$.
$1)$ Exprimer $h$ en fonction de $c$ et $\ sin A$, puis en déduire que l’aire du triangle $ABC$ est :
$\mathscr{A}=\dfrac{1}{2}bc\ sin \widehat{A}$.
Utiliser le triangle $AHB$, rectangle en $H$.
$2)$ À l’aide de la formule d’Al-Kashi, exprimer $\ sin^2 \widehat{A}$ en fonction de $a, b$ et $c$.
La formule d’Al-Kashi est :
$a^2 = b^2 + c^2 − 2b \ cos \widehat{A}.$
$3)$ En notant $p =\dfrac{a + b + c}{2}$, montrer alors que :
$\ sin^2 \widehat{A}=\dfrac{4p(p − a)(p − b)(p − c)}{b^2c^2}.$
$4)$ En déduire alors que : $\mathscr{A}=\sqrt{(p − a)(p − b)(p − c)}$.
Cette dernière formule est appelée la formule de Héron.
$5)$ Application : calculer l’aire d’un triangle dont les côtés ont pour mesure $7\ cm$, $12\ cm$ et $9\ cm.$
$1)$ Exprimer $h$ en fonction de $c$ et $\ sin A$, puis en déduire que l’aire du triangle $ABC$ est :
$\mathscr{A}=\dfrac{1}{2}bc\ sin \widehat{A}$.
Utiliser le triangle $AHB$, rectangle en $H$.
$2)$ À l’aide de la formule d’Al-Kashi, exprimer $\ sin^2 \widehat{A}$ en fonction de $a, b$ et $c$.
La formule d’Al-Kashi est :
$a^2 = b^2 + c^2 − 2b \ cos \widehat{A}.$
$3)$ En notant $p =\dfrac{a + b + c}{2}$, montrer alors que :
$\ sin^2 \widehat{A}=\dfrac{4p(p − a)(p − b)(p − c)}{b^2c^2}.$
$4)$ En déduire alors que : $\mathscr{A}=\sqrt{(p − a)(p − b)(p − c)}$.
Cette dernière formule est appelée la formule de Héron.
$5)$ Application : calculer l’aire d’un triangle dont les côtés ont pour mesure $7\ cm$, $12\ cm$ et $9\ cm.$