Suites imbriquées
On considère les suites $(u_n )$ et $(v_n )$ définies par :
$$\begin{cases}u_0=1 \\u_{n+1}=0,55u_n+0,35v_n\end{cases}$$
$$\begin{cases}v_0=0 \\v_{n+1}=0,45u_n+0,65v_n\end{cases}$$
$1)$ Soient deux nombres réels non nuls $a$ et $b$ tels que la suite $(w_ n )$ définie pour tout entier naturel $n$ par $w_n = au_n + bv_n$ soit géométrique de raison notée $q$.
$a)$ Montrer que l’on a :
$\begin{cases}0,55a+0,45b=aq \\0,35a+0,65b=bq\end{cases}$
Calculer $w_{n+1} =au_{n+1} + bv_{n+1}.$
$b)$ En déduire que $a =\dfrac{q-0,65}{0,35}b$ et $b=\dfrac{q-0,55}{0,45}a.$
$c)$ Montrer alors que $q$ est solution de l’équation $q^2 − 1, 2q + 0, 2 = 0$.
$d)$ Trouver alors les deux valeurs de $q$ possibles, notées $q_1$ et $q_ 2$ , avec $q_1$<$q_2$, puis les valeurs possibles de $a$ et $b$ pour chacune de ces deux valeurs de $q$.
Le discriminant du polynôme $q_2 − 1, 2q + 0, 2$ est :
$\Delta = (−1, 2)^2 − 4 \times1 \times0, 2 = 0, 64.$
$2)$ On pose alors $c_n = u_n + v_n$ et $g_n = 9u_n − 7v_n.$
$a)$ Montrer que ces deux suites vérifient les conditions de la suite $(w_n ).$
$b)$ En déduire une expression de $c_n = u_n$ et $g_n$ en fonction de $n$.
$g_n =g_0 × q^n.$
$c)$ En déduire une expression de $u_n$ et de $v_n$ en fonction de $n$.
$$\begin{cases}u_0=1 \\u_{n+1}=0,55u_n+0,35v_n\end{cases}$$
$$\begin{cases}v_0=0 \\v_{n+1}=0,45u_n+0,65v_n\end{cases}$$
$1)$ Soient deux nombres réels non nuls $a$ et $b$ tels que la suite $(w_ n )$ définie pour tout entier naturel $n$ par $w_n = au_n + bv_n$ soit géométrique de raison notée $q$.
$a)$ Montrer que l’on a :
$\begin{cases}0,55a+0,45b=aq \\0,35a+0,65b=bq\end{cases}$
Calculer $w_{n+1} =au_{n+1} + bv_{n+1}.$
$b)$ En déduire que $a =\dfrac{q-0,65}{0,35}b$ et $b=\dfrac{q-0,55}{0,45}a.$
$c)$ Montrer alors que $q$ est solution de l’équation $q^2 − 1, 2q + 0, 2 = 0$.
$d)$ Trouver alors les deux valeurs de $q$ possibles, notées $q_1$ et $q_ 2$ , avec $q_1$<$q_2$, puis les valeurs possibles de $a$ et $b$ pour chacune de ces deux valeurs de $q$.
Le discriminant du polynôme $q_2 − 1, 2q + 0, 2$ est :
$\Delta = (−1, 2)^2 − 4 \times1 \times0, 2 = 0, 64.$
$2)$ On pose alors $c_n = u_n + v_n$ et $g_n = 9u_n − 7v_n.$
$a)$ Montrer que ces deux suites vérifient les conditions de la suite $(w_n ).$
$b)$ En déduire une expression de $c_n = u_n$ et $g_n$ en fonction de $n$.
$g_n =g_0 × q^n.$
$c)$ En déduire une expression de $u_n$ et de $v_n$ en fonction de $n$.