Une entreprise pharmaceutique décide de faire des économies sur les tarifs d’affranchissements des $50$ courriers publicitaires à envoyer aux clients cette semaine. Pour cela, elle décide d’affranchir, au hasard, une proportion de $30$ lettres avec des timbres à $0,60$€,
$15$ lettres avec des timbres à $1$€ et le reste avec des timbres à $1,50$€.

$1)$ Un cabinet médical reçoit une de ces lettres, quelle est la probabilité des événements suivants :
$A$ : «La lettre est affranchie au tarif de $1$€».
$B$ : «Le timbre de la lettre est au moins de $1$€».

$2)$ Soit $X$ la variable aléatoire qui associe à chaque lettre le montant en euro du timbre d’affranchissement.
Donner la loi de probabilité de la variable $X$.
Calculer son espérance et son écart-type puis donner leur signification.