On souhaite construire une boîte parallélépipédique à partir d’un carton carré de $4$ mètres de côté, comme l’illustre le schéma suivant :

La partie hachurée correspond à la partie du carton qui va être pliée (aux pointillés) pour obtenir la boîte.
$1)$ Montrer que le volume de la boîte est égal à $f (x) = 2x(2 − x)^2$.

$2)$ Étudier les variations de $f$, puis en déduire la valeur de $x$ (arrondie au centimètre près) pour laquelle le volume de la boîte est optimal.