M. Mathix vient de gagner au loto une belle somme d'argent. Il veut en faire profiter ses deux jeunes neveux Arnaud et Bertrand. Mais en bon mathématicien, il décide de compliquer un peu les choses. M. Mathix va approvisionner sur une durée de $14$ ans deux comptes séparés $A$ et $B$.
Compte $A$ : C'est un compte à intérêts composés au taux annuel de $3\%$. C'est à dire que le capital va produire $3\%$ d'intérêts venant se rajouter au capital.
Au $1^{er}$ Janvier $2012$, M. Mathix dépose sur ce compte $15\ 000\ €.$ Au $1^{er}$ Janvier de chaque année suivante, M. Mathix dépose $3\ 000\ €$ supplémentaires.
Compte $B$ : Au $1^{er}$ Janvier $2012$, M. Mathix dépose $3\ €.$
Au $1^{er}$ Janvier de l'année suivante, $6$ € sont déposés. Et ainsi de suite, en doublant chaque année. Ce compte ne produit aucun intérêt.

$1°)$ Étude du compte $A$ :
On appelle $C_n$ le capital acquis au $1^{er}$ Janvier de l'année $( 2012 + n )$. On note $C_0 =15\ 000$.

$a)$ Calculer $C_1$ le capital acquis au bout d'un an.

$b)$ Expliquer pourquoi $C_{n +1} =1,03 ×C_n +3\ 000.$

$c)$ On pose $V_n =C_n +100\ 000$
Montrer que $V_{n +1} =1,03 V_n. $
En déduire la nature de la suite $( V_n )$ et préciser ses éléments caractéristiques.

$d)$ Pour $n$ entier naturel, exprimer $V_n$ en fonction de $n$ puis $C_n$ en fonction de $n.$

$e)$ A l'aide de votre calculatrice, indiquez au bout de combien d'années le capital dépassera les $50\ 000$ €. Justifier soigneusement.

$f)$ Déterminer la limite de la suite $( C_n )$ .

$2°)$ Étude du compte $B$ :
On note $u_n$ la somme déposée sur le compte $B$ au $1^{er}$ Janvier de l'année $n$ . Ainsi $u_0 = 3 .$
On pose $T_n =u_0 + u_1 +...+u_n$ la somme totale déposée au bout de $n$ années sur le compte $B$.
Exprimer $T_n$ en fonction de $n$.

$3°) $ Comparaison :
Arnaud choisit le compte $A$ et Bertrand le compte $B$. Chacun récupérera le capital acquis sur le compte au $1^{er}$ Janvier $2026$. On suppose qu'ils seront alors tous les deux bien vivants.
Qui a fait le meilleur choix ?