$1)$ $f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2–2x–3$.

$a.$ Montrer que $f(x)=(x−1)^2–4$.

$b.$ En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.

$2)$ $a.$ Compléter le tableau de valeurs suivant :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x&-2&-1&0&0,5&1&1,5&2&3&4 \\
\hline
f(x) & 5 & & & & & & & & \\
\hline
\end{array}$$

$b.$ On considère le repère orthonormé du plan ci-dessous.


Tracer sur ce repère la courbe $\mathscr{C}_f$représentative de $f$.


$c.$ Résoudre graphiquement $f(x)<0$. Justifier.

$3)\ a.$ Montrer que $f(x)=(x+1)(x−3)$.

$b.$ Retrouver par le calcul la réponse à la question $2c$.

$4)$ $g$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=2x−3$.

$a.$ Tracer $\mathscr{C}_g$, la courbe représentative de $g$ dans le repère précédent.

$b.$ Résoudre graphiquement f$(x)=g(x)$. Justifier.

$c.$ Retrouver le résultat précédent algébriquement.