$1)$ Dans un repère orthonormé $(0, I, J)$, $A$ est le point de coordonnées $(0,-1)$. Soit $M$ le point de coordonnées $(x;0)$, où $x$ est un nombre réel. Soit $B$ le point d'intersection de l'axe des ordonnées et de la perpendiculaire en $M$ au segment $\lbrack A M\rbrack$. Soit $M'$ le point d'intersection de la perpendiculaire en $M$ à l'axe des abscisses et de la perpendiculaire en $B$ à l'axe des ordonnées.

Construire la figure $($avec un logiciel de géométrie si possible$)$, que conjecturer sur la courbe décrite par le point $M'$ lorsque $M$ décrit l'axe des abscisses $?$

$2)$ Que vaut $OB$ lorsque $x=0$ $?$


Supposons dorénavant que $x\neq 0$. Soit $\alpha$ une mesure de l'angle géométrique $\widehat{OBM}$.
$3$ $a)$ Démontrer que $\alpha$ est aussi une mesure de l'angle géométrique $\widehat{OMA}$.

3b) Démontrer que $OM^{2}=OB\times OA$.

$3$ $c)$ En déduire que $OB=x^{2}$ et la courbe décrite par le point $M'$ lorsque $x$ décrit l'ensemble des nombres réels.