Soit $I$ le milieu d'un segment $[AB]$ et $M$ un point n'appartenant pas à la droite $(AB)$.

$1)$ Construire les points $C \;et\; D$ tels que
$$\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IM} \quad et \quad \overrightarrow{ID}=\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IM}.$$
$2)$ Quelle est la nature des quadrilatères $AIMC$ et $IBDM$ $?$

$3)$ Démontrer que $M$ est le milieu de $[CD]$.

$4)$ Démontrer que $\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{BM}.$

$5)$ Soit $E$ le symétrique de $I$ par rapport à $M$.

$\;$ $a)$ Traduire cette propriété par une égalité vectorielle.

$\;$ $b)$ Démontrer que $\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{IE}.$