Trigonométrie et limites
Soit $x$ un réel de $]0; 2[$. Dans le plan rapporté à un repère orthonormal direct $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j}),$ on considère les points :
$$A(1;0) \qquad M(cos x;sin x) \qquad P(cos x;0).$$
On considère de plus le point $T$ intersection de $(OM)$ et de la perpendiculaire à $(OA)$ en $A.$
$1)$ Montrer que $$AT = \tan x.$$
$2)$ Soit $A_{1}$ l'aire du triangle $OAM$, $A_{2}$ l'aire du secteur de disque $OAM$ et $A_{3}$ l'aire du triangle $OAT$. En comparant ces aires, prouver que : $\sin x ≤ x ≤ \tan x$.
$3)$ En déduire que $$\cos x \leq\dfrac{\sin x}{x} \leq1.$$
$4)$ Déterminer $\lim_{x \to 0 x>0} \dfrac{\sin x}{x}.$
$$A(1;0) \qquad M(cos x;sin x) \qquad P(cos x;0).$$
On considère de plus le point $T$ intersection de $(OM)$ et de la perpendiculaire à $(OA)$ en $A.$
$1)$ Montrer que $$AT = \tan x.$$
$2)$ Soit $A_{1}$ l'aire du triangle $OAM$, $A_{2}$ l'aire du secteur de disque $OAM$ et $A_{3}$ l'aire du triangle $OAT$. En comparant ces aires, prouver que : $\sin x ≤ x ≤ \tan x$.
$3)$ En déduire que $$\cos x \leq\dfrac{\sin x}{x} \leq1.$$
$4)$ Déterminer $\lim_{x \to 0 x>0} \dfrac{\sin x}{x}.$