Chapitres Seconde > Fonctions - Fonction carré, fonction inverse

Utiliser le tableau de variations ou la représentation graphique de la fonction inverse pour dire à quel intervalle appartient $\dfrac{1}{x}$ lorsque :

$1)$ $x \in [2;7]$ ;

$2)$ $x \in ]0;5]$ ;

$3)$ $x \in \left]-2;- \dfrac{1}{5}\right].$

$1)$ On sait que $x≥0$. Comparer $\quad\dfrac{1}{x+7}\quad$ et $\quad\dfrac{1}{x + 2}.$

$2)$ On sait que $x≤0$. Comparer $\quad\dfrac{1}{x – 6}\quad$ et $\quad\dfrac{1}{x – \sqrt{10}}.$

$3)$ On sait que $x≥3$. Comparer $\quad\dfrac{1}{4x – 2}\quad$ et $\quad\dfrac{1}{10}$.

On considère la fonction inverse $f(x)=1/x.$

Calculer les images par $f$ des réels suivants :

$1)$ $\quad\dfrac{5}{7}$ ;

$2)$ $\quad-\dfrac{1}{9}$ ;

$3)$ $\quad\dfrac{4}{9}$ ;

$4)$ $\quad10^{-8}$ ;

$5)$ $\quad10^4.$

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou
fausse :

Justifier la réponse.

$1)$ Si $\ 3 \le x \le 4,$ alors $\quad \dfrac{1}{3} \le \dfrac{1}{x} \le \dfrac{1}{4}$ ;

$2)$ Si $\ -2 \le x \le 1,$ alors $\quad -0.5 \le \dfrac{1}{x} \le 1$ ;

$3)$ Si $\ 1 \le \dfrac{1}{x} \le 10,$ alors $\quad 0,1 \le x \le 1.$

On appelle $f$ la fonction définie par $f(x) = \dfrac{2}{x – 4} + 3$ :

$1)$ Déterminer l’ensemble de définition de $f$.

$2)$ Démontrer que $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty;4[.$

$3)$ Démontrer que $f$ est strictement décroissante sur $]4;+\infty[.$

$4)$ Dresser le tableau de variations de $f.$

Résoudre les inéquations suivantes :

$2)$ $\quad\dfrac{1}{x} \ge 2$ ;

$3)$ $\quad \dfrac{1}{x} \le 1.$

Compléter :

$1)$ Si $\quad x < -1\quad$ alors $\quad\ldots < \dfrac{1}{x} < \ldots$

$2)$ Si $\quad1 \le x \le 2\quad$ alors $\quad\ldots < \dfrac{1}{x} < \ldots$

Dans un repère orthonormé on considère deux points $A(3;2)$ et $B(7;−2)$.

$1)$ Déterminer une équation de la droite $(AB)$.

$2)$ Représenter graphiquement l’hyperbole d’équation $y=\dfrac{4}{x}$.

$3)$ Vérifier que pour tout réel $x$ on a :$ x^2–5x+4=(x–1)(x–4).$

$4)$ Quelles sont les coordonnées des points d’intersection de cette hyperbole et de la droite $(AB)$ $?$
Retrouver ces résultats par le calcul.

$1)$ Représenter dans un même repère orthonormé les courbes $C_f$ et $C_g,$ représentant les fonctions $f$ et $g$ définies de la façon suivante :

$f(x)=2x$ pour tout réel $x$ non nul ;

$g(x)=2x–3$ pour tout réel $x$.

$2)$ Vérifier que les points $A(2;1)$ et $B(−12;−4)$ sont communs à $C_f$ et $C_g$.

$3)$ En déduire, graphiquement, les solutions de l’inéquation $f(x)≤g(x)$.

Calculer les antécédents par la fonction carré $f$, lorsque c’est possible, des réels :

$1)$ $1$ ;

$2)$ $-16$ ;

$3)$ $\dfrac{9}{5}$ ;

$4)$ $25.$

Soit $f$ la fonction carré définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2$.

Pour chacune des phrases suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier la réponse.

$1)$ Tous les nombres réels ont exactement une image par $f$.

$2)$ Il existe un nombre réel qui n’a pas d’antécédent par $f$.

$3)$ Tous les nombres réels ont, au plus, un antécédent par $f$.

$4)$ Il existe au moins un nombre réel qui a deux antécédents par $f$.

On considère la fonction $f$ définie sur $\left[-\dfrac{10}{3};3\right]$ par $f(x) = x^2.$

$1)$ Tracer la représentation graphique de $f.$

$2)$ Dans les trois situations suivantes, déterminer le minimum et le maximum de $f$ sur l’intervalle I fourni :

$i)$ $I = \left[\dfrac{1}{3};3\right]$ ;

$ii)$ $I = \left[-3;-\dfrac{1}{3}\right]$ ;

$iii)$ $I = \left[-\dfrac{10}{3};\dfrac{1}{3}\right].$