$Partie \: A$ :
On considère la suite $(u_n )$ définie par $u_0 = 10$ et pour tout entier naturel $n,u_{n+1} = 0, 9u_n + 1, 2.$

$1)$ On considère la suite $(v_n )$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n − 12.$

$a.$ Démontrer que la suite $(v_n )$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

$b.$ Exprimer $v_n$ en fonction de $n.$

$c.$ En déduire que pour tout entier naturel $n, u_n = 12 − 2 × 0, 9 n.$

$2)$ Déterminer la limite de la suite $(v_n)$ et en déduire celle de la suite $(u_n ).$

$Partie \: B$ :
En $2012$, la ville de Bellecité compte $10$ milliers d’habitants. Les études démographiques sur les dernières années ont montré que chaque année :
• $10 \%$ des habitants de la ville meurent ou déménagent dans une autre ville ;
• $1\ 200$ personnes naissent ou emménagent dans cette ville.

$1)$ Montrer que cette situation peut être modélisée par la suite $(u_n )$ où $u_n$ désigne le nombre de milliers d’habitants de la ville de Bellecité l’année $2012 + n.$

$2)$ Un institut statistique décide d’utiliser un algorithme pour prévoir la population de la ville de Bellecité dans les années à venir.
Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous pour qu’il calcule la population de la ville de Bellecité l’année $2012 + n.$