Dans une réserve, on a constaté une diminution annuelle constante de $10 \%$ de l’effectif des cabris.
Pour sauvegarder l’espèce, on décide d’introduire chaque année un nombre fixe $K$ de ces cabris.

$1)$ $a.$ Résoudre l’équation : $0, 9x + K = x$. On exprimera la solution $x$ en fonction de $K.$

$b.$ Choisir $K$ de façon à ce que le nombre $x$ trouvé précédemment soit égal à $500.$

$c.$ Donner une interprétation du résultat obtenu en $b)$ concernant la population des cabris.

$2)$ À partir de cette question, on prend $K=50.$
On note $p_n$ le nombre de cabris après n années du plan de sauvegarde $($qui consiste donc à introduire $50$ cabris par an$).$
On considère que la population initiale des cabris est $p_0 = 1\ 000.$

$a.$ Expliquer pourquoi on a : $p_{n+1} = 0, 9p_n + 50.$

$b.$ On considère la suite $(t_n )_{n \geq 0}$ définie par : $t_n = p_n − 500$ pour tout entier naturel $n.$
Vérifier que la suite $(t_n )_{n \geq 0}$ est géométrique de raison $q = 0, 9.$
Calculer $t_0.$ En déduire l’expression de $t_n$ en fonction de $n.$

$c.$ En déduire l’expression de $p_n$ en fonction de $n.$ Déterminer une valeur approchée de $p_ {10}.$

$3)$ On prend toujours $K=50$ ; on note encore $p_n$ le nombre de cabris après $n$ années.
On considère cette fois que la population initiale des cabris est de $100.$
En expliquant votre raisonnement, déterminer une valeur approchée de $p{10}$ dans ce cas.