On souhaite comparer l’évolution de deux capitaux.
Sophie possède $800$ $€$ d’économies en janvier, qu’elle augmente de $10 \%$ à la fin de chaque mois.
Yves possède, lui, $1\ 000$ € d’économies en janvier. Il ajoute $50$ € à la fin de chaque mois.

$1)$ Étude du capital de Sophie.
On note $u_0$ le capital initial en janvier.
On note $u_n$ le capital disponible au bout de $n$ mois $(n$ entier naturel non nul$).$

$a.$ Démontrer que la suite $(u_n )_{n\geq0}$ est géométrique de raison $1,1$ et de premier terme $800.$

$b.$ Calculer la somme dont dispose Sophie au mois de janvier de l’année suivante $($au centime d’euro près$).$

$c.$ Calculer le pourcentage d’augmentation de son capital au bout d’une année complète $($arrondi à l’entier$).$

$2)$ Étude du capital d’Yves.
On note $v_0$ le capital initial en janvier.
On note $v_n$ le capital disponible au bout de $n$ mois $(n$ entier naturel non nul$).$

$a.$ Quelle est la nature de la suite $(v_n )_n\geq 0.$ Quelle est sa raison ? Quel est son premier terme ?

$b.$ Calculer la somme dont dispose Yves au mois de janvier de l’année suivante $($au centime d’euro près$).$

$c.$ Calculer le pourcentage d’augmentation de son capital au bout d’une année complète $($arrondi à l’entier$).$

$3)$ Déterminer, à l’aide de la calculatrice, à partir de quel mois les économies de Sophie deviennent supérieures à celles de Yves.