On considère la fonction $C$ définie sur l’intervalle $\left[5 ; 60\right]$ par : $$C\left(x\right)=\frac{e^{0,1x}+20}{x}.$$
$1)$ On désigne par $C^{\prime}$ la dérivée de la fonction $C.$ Montrer que, pour tout $x\in \left[5 ; 60\right]$ : $C^{\prime}\left(x\right)=\dfrac{0,1xe^{0,1x}-e^{0,1x}-20}{x^{2}}.$

$2)$ On considère la fonction $f$ définie sur $\left[5 ; 60\right]$ par $f\left(x\right)=0,1xe^{0,1x}-e^{0,1x}-20.$

$a.$ Montrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur $\left[5 ; 60\right].$


$b.$ Montrer que l’équation $f\left(x\right)=0$ possède une unique solution $ \alpha$ dans $\left[5 ; 60\right].$


$c.$ Donner un encadrement à l’unité de $\alpha.$

$d.$ En déduire le tableau de signes de $f\left(x\right)$ sur $\left[5 ; 60\right].$

$3)$ En déduire le tableau de variations de $C$ sur $\left[5 ; 60\right].$

$4)$ En utilisant le tableau de variations précédent, déterminer le nombre de solutions des équations suivantes :

$a.$ $C\left(x\right)=2$ ;

$b.$ $C\left(x\right)=5.$