Une ville possède $100\ 000$ habitant au $1$ er janvier $2010.$
Chaque année, elle en perd $5 \%$, mais en gagne $500.$
On note $u_n$ le nombre d’habitants de cette ville au $1$ er janvier de l’année $(2010 + n)$. Ainsi, $u_0 = 100\ 000.$

$1)$ Calculer $u_1$ et $u_2$ .

$2)$ Donner l’expression de $u_{n+1}$ en fonction de $u_n,$ pour un entier naturel $n$ quelconque.
On pose $v_n = u_n − 10\ 000.$

$3)$ Montrer que $(v_n )$ est une suite géométrique, dont on précisera la raison et le premier terme.

$4)$ En déduire une expression de $v_n$ en fonction de $n$, puis une expression de $ u_n$ en fonction de $n.$

$5)$ Calculer la limite de $u_n.$ Interpréter ce résultat.