La production des perles de culture de Tahiti est une activité économique importante pour la Polynésie Française.
Les montants réalisés à l’exportation des produits perliers de $2008$ à $2011$ sont donnés dans le tableau suivant, en milliers d’euros.


$1)$ Montrer que le taux d’évolution annuel moyen des montants à l’exportation des produits perliers de Polynésie entre $2008$ et $2011$ est $−8, 06 \%$ arrondi au centième.
On admet pour la suite de l’exercice, que la production continuera à baisser de $8 \%$ par an à partir de $2011.$

$2)$ On considère l’algorithme suivant :



Si on saisit $P = 50\ 000$ en entrée, qu’obtient-on en sortie par cet algorithme ? Interpréter ce résultat dans le contexte de la production de perles.

$3)$ Pour prévoir les montants réalisés à l’exportation des perles de Tahiti, on modélise la situation par une suite $(u_n).$ On note $u_0$ le montant en $2011,$ en milliers d’euros, et $u_n$ le montant en $2011 + n,$ en milliers d’euros. On a donc $u_0 = 63 182$ et on suppose que la valeur baisse tous les ans de $8\%.$

$a.$ Montrer que $(u_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.

$b.$ Exprimer, pour tout entier naturel $n, u_n$ en fonction de $n.$

$c.$ Avec ce modèle, quel montant peut-on prévoir pour l’exportation des produits perliers de Polynésie Française en $2016$ $?$ On arrondira le résultat au millier d’euros.

$4)$ Calculer le montant cumulé des produits perliers exportés que l’on peut prévoir avec ce modèle à partir de $2011$ $($comprise$)$ jusqu’à $2020$ $($comprise$).$ On donnera une valeur approchée au millier d’euros.