Les résultats seront donnés sous forme décimale en arrondissant à $10^{-4}.$ Dans un pays, il y a $2\%$ de la population contaminée par un virus. On dispose d’un test de dépistage de ce virus qui a les propriétés suivantes :
- la probabilité qu’une personne contaminée ait un test positif est de $0,99$ $($sensibilité du test$)$ ;
- la probabilité qu’une personne non contaminée ait un test négatif est de $0,97$ $($spécificité du test$).$
On fait passer un test à une personne choisie au hasard dans cette population. On note $V$ l’évènement “la personne est contaminée par le virus” et $T$ l’évènement “le test est positif”. $\overline{V}$ et $\overline{T}$ désignent respectivement les évènements contraires de $V$ et $T.$
$1)$ $a.$ Préciser les valeurs des probabilités $P\left(V\right),P_{V}\left(T\right),P_{\overline{V}}\left(\overline{T}\right) .$ Traduire la situation à l’aide d’un arbre de probabilités.

$b.$ En déduire la probabilité de l’évènement $V \cap T.$

$2)$ Démontrer que la probabilité que le test soit positif est $0,049\ 2.$

$3)$ $a.$ Justifier par un calcul la phrase : « Si le test est positif, il n’y a qu’environ $40\%$ de “chances” que la personne soit contaminée ».

$b.$ Déterminer la probabilité qu’une personne ne soit pas contaminée par le virus sachant que son test est négatif.