Fonction Numérique
Soit la fonction numérique définie par :
$$f(x)=\dfrac{(1-\sin x)(1-\sin²x)...(1-sin^nx)}{\cos^{2n}x},\ \ (n\in \mathbb{N^*})$$
$1)$ Monter que : $\lim\limits_{t \to 0} \dfrac{1-\cos^kt}{1-\cos^2t}.$
$2)$ Déduire que : $\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2} } f(x)=\dfrac{n!}{2^n}.$
On pose $t=x-\dfrac{\pi}{2}.$
$$f(x)=\dfrac{(1-\sin x)(1-\sin²x)...(1-sin^nx)}{\cos^{2n}x},\ \ (n\in \mathbb{N^*})$$
$1)$ Monter que : $\lim\limits_{t \to 0} \dfrac{1-\cos^kt}{1-\cos^2t}.$
$2)$ Déduire que : $\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2} } f(x)=\dfrac{n!}{2^n}.$
On pose $t=x-\dfrac{\pi}{2}.$