Des étudiants d’une université se préparent à passer un examen pour lequel quatre thèmes $(A, B, C$ et $D)$ sont au programme.

$Partie$ $A$

Sur les $34$ sujets de l’examen déjà posés, $22$ portaient sur le thème $A.$
Peut-on rejeter au seuil de $95\%$ l’affirmation suivante : « il y a une chance sur deux que le thème $A$ soit évalué le jour de l’examen » ?


$Partie$ $B$

Le thème $A$ reste pour beaucoup d’étudiants une partie du programme difficile à maîtriser. Un stage de préparation est alors proposé pour travailler ce thème.
Lors de l’examen, on a constaté que s’il y a un exercice portant sur le thème $A$ :
• $30\%$ des étudiants n’ayant pas suivi le stage ne traitent pas l’exercice ;
• $\dfrac{5}{6}$ des étudiants ayant suivi le stage l’ont traité.
On sait de plus que $20\%$ des étudiants participent au stage.
Lors des résultats de l’examen, un étudiant s’exclame : « Je n’ai pas du tout traité le thème $A$ ».
Quelle est la probabilité que cet étudiant ait suivi le stage ? On arrondira le résultat à $0,001$ près.


$Partie$ $C$

On suppose que la variable aléatoire $T,$ associant la durée $($exprimée en minutes$)$ que consacre un étudiant de cette université pour la composition de cet examen, suit la loi normale d’espérance $µ = 225$ et d’écart-type $σ$ où $σ > 0.$
La probabilité qu’un étudiant finisse son examen en moins de $235$ minutes est de $0,98.$
Déterminer une valeur approchée de $σ$ à $0,1$ près.
On pourra, par exemple, introduire la variable aléatoire $Z=\dfrac{T-225}{\sigma}.$