Une urne contient $10$ boules blanches et $n$ boules rouges, $n$ étant un entier naturel supérieur ou égal à $2$. On fait tirer à un joueur des boules de l’urne. À chaque tirage, toutes les boules ont la même probabilité d’être tirées. Pour chaque boule blanche tirée, il gagne $2$ euros et pour chaque boule rouge tirée, il perd $3$ euros. On désigne par $X$ la variable aléatoire correspondant au gain algébrique obtenu par le joueur.

$1)$ Le joueur tire deux fois successivement et sans remise une boule de l’urne.

$a)$ Démonter que $P(X = -1) = \dfrac{20n}{(n + 10)(n + 9)}.$

$b)$ Calculer, en fonction de $n$ la probabilité correspondant aux deux autres valeurs prises par la variable $X.$

$c)$ Vérifier que l’espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ vaut : $E(X) = \dfrac{-6n^2 -14n + 360}{(n + 10)(n + 9)}.$

$d)$ Déterminer les valeurs de $n$ pour lesquelles l’espérance mathématique est strictement positive.