Pour tout entier naturel non nul $n,$ on pose $$I_n = \displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \left(\tan(x)\right)^n\mathrm{d}x.$$ $Partie$ $A$

$1)$ Justifier l’existence de $I_n.$

$2)$ Sans calculer $I_n,$ montrer que la suite $(I_n)$ est positive et décroissante. Que peut-on en déduire ?

$3)$ Rappeler la dérivée de la fonction $\tan,$ puis calculer celle de la fonction $h : \begin{cases} \left[0;\dfrac{\pi}{4}\right] \to \mathbb{R} \\x \mapsto \ln \left(\cos(x)\right) \end{cases}.$
En déduire les valeurs exactes de $I_1$ et $I_2.$

$4)$ En remarquant que $\left(\tan(x)\right)^3 = \tan(x) \times \left(\left(\tan(x)\right)^2+1\right) – \tan(x),$ calculer la valeur exacte de $I_3.$