Polynésie – Septembre 2017 (Exo 03)
On rappelle que pour tout réel $a$ et tout réel $b,$ $\cos(a-b)=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b).$
Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{j}).$
On considère la droite $\mathscr{D}$ d'équation $y=-x+2.$
$1)$ Montrer que si le réel $θ$ appartient à l’intervalle $\left]-\dfrac{\pi}{4};\dfrac{3\pi}{4}\right],$ alors $\cos\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)>0.$
Utiliser l'encadrement.
$2)$ Soit $M$ un point du plan complexe d’affixe $z$ non nulle. On note $ρ=|z|$ le module de $z$ et $θ=arg(z)$ un argument de $z$ ; les nombres $ρ$ et $θ$ sont appelés coordonnées polaires du point $M.$
Montrer que le point $M$ appartient à la droite $\mathscr{D}$ si et seulement si ses coordonnées polaires sont liées par la relation : $$\rho=\dfrac{\sqrt{2}}{\cos\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)}, \text{ avec} \theta\in\left]-\dfrac{\pi}{4};\dfrac{3\pi}{4}\right[\text{ et } \rho>0.$$
$3)$ Déterminer les coordonnées du point de la droite $\mathscr{D}$ le plus proche de l’origine $O$ du repère.
Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{j}).$
On considère la droite $\mathscr{D}$ d'équation $y=-x+2.$
$1)$ Montrer que si le réel $θ$ appartient à l’intervalle $\left]-\dfrac{\pi}{4};\dfrac{3\pi}{4}\right],$ alors $\cos\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)>0.$
Utiliser l'encadrement.
$2)$ Soit $M$ un point du plan complexe d’affixe $z$ non nulle. On note $ρ=|z|$ le module de $z$ et $θ=arg(z)$ un argument de $z$ ; les nombres $ρ$ et $θ$ sont appelés coordonnées polaires du point $M.$
Montrer que le point $M$ appartient à la droite $\mathscr{D}$ si et seulement si ses coordonnées polaires sont liées par la relation : $$\rho=\dfrac{\sqrt{2}}{\cos\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)}, \text{ avec} \theta\in\left]-\dfrac{\pi}{4};\dfrac{3\pi}{4}\right[\text{ et } \rho>0.$$
$3)$ Déterminer les coordonnées du point de la droite $\mathscr{D}$ le plus proche de l’origine $O$ du repère.