On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $$g(x) = 2e^x − x − 2.$$ $1)$ Déterminer la limite de $g$ en $−∞$ puis en $+∞.$

$2)$ Étudier le sens de variation de $g,$ puis dresser son tableau de variations.

$3)$ $a.$ Montrer que $x = 0$ est solution de l’équation $g(x) = 0.$

$b.$ Montrer que l’équation $g(x) = 0$ admet une deuxième solution α sur l’intervalle $]−1, 6 ; −1, 5[.$