On dispose de deux dés cubiques dont les faces sont numérotées de $1$ à $6.$ Ces dés sont en apparence identiques mais l’un est bien équilibré et l’autre truqué. Avec le dé truqué la probabilité d’obtenir $6$ lors d’un lancer est égale à $\dfrac{1}{3}.$
$1)$ On lance le dé bien équilibré trois fois de suite et on désigne par $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de $6$ obtenus.
$a.$ On lance le dé bien équilibré trois fois de suite et on désigne par $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de $6$ obtenus.

$b.$ Quelle est son espérance ?

​​$c.$ Calculer $P\left(X=2\right).$

$2)$ On choisit au hasard l’un des deux dés, les choix étant équiprobables. Et on lance le dé choisi trois fois de suite.
On considère les événements $D$ et $A$ suivants :
•ﾠﾠ $D$ : « le dé choisi est le dé bien équilibré » ;
•ﾠﾠ $A$ : « obtenir exactement deux $6$ ».
$a.$ Calculer la probabilité des événements suivants :
•ﾠﾠ « choisir le dé bien équilibré et obtenir exactement deux $6$ » ;
•ﾠﾠ « choisir le dé truqué et obtenir exactement deux $6$ ».
$($On pourra construire un arbre de probabilité$).$

$b.$ En déduire que : $p\left(A\right)=\frac{7}{48}.$

$c.$ Ayant choisi au hasard l’un des deux dés et l’ayant lancé trois fois de suite, on a obtenu exactement deux $6.$ Quelle est la probabilité d’avoir choisi le dé truqué ?

On choisit au hasard l’un des deux dés, les choix étant équiprobables, et on lance le dé $n$ fois de suite $(n$ désigne un entier naturel supérieur ou égal à $2).$
On note $B_{n}$​ l’événement « obtenir au moins un $6$ parmi ces $n$ lancers successifs ».
$a.$ Déterminer, en fonction de $n,$ la probabilité $p_{n}$ de l’événement $B_{n}.$

$b.$ Calculer la limite de la suite $\left(p_{n}\right).$ Commenter ce résultat.