On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=x+\sqrt{x^2-1}$ et on note $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

$1)$ Quel est l’ensemble de définition $x\in\mathscr{D}_f$ de la fonction $f$ $?$

$2)$ Montrer que pour tout $x\in\mathscr{D}_f$, $f(−x)f(x)=−1.$

$3$ Déterminer la limite de $f$ en $+∞$ puis en déduire celle de $f$ en $−∞.$

$4$ Déterminer le tableau de variations de la fonction $f.$